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韦达定理公式详细讲解(初中数学知识盲区——–韦达定理与二次函数)

2022-12-28 13:35:35    来源:红五百科    

初三数学中二次函数占据了最重要的地位,要在中考中取得好成绩就必须把二次函数学好学透,现在我们来说一下二次函数知识的盲区。


(资料图片)

韦达定理源自一元二次方程,我们先回顾一下一元二次方程公式法求根。

设ax²+bx+c=0,x₁、x₂是该方程的两个根。

则x₁、x₂= (-b±√(b^2-4ac))/2a

那么就可以推导出x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a,1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/x₁·x₂。

我们从一元二次方程引申为二次函数y=ax²+bx+c

在二次函数y=ax²+bx+c中,若ax²+bx+c=0,x₁、x₂是该方程的两个根;

那么x₁、x₂的值在二次函数中的位置如图

此时,该二次函数对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b²)/4a

那么极值点h=(x₁+x₂)/2

下面例题如下:

已知二次函数y=-x²+px+q的图像与x轴交于(α,0)、(β,0)两点,且α>1>β,求证:p+q>1

证明:由题意,可知方程-x²+px+q=0的两根为α、β.

由韦达定理得 α+β=p,αβ=-q.

于是p+q=α+β-αβ,

=-(αβ-α-β+1)+1

=-(α-1)(β-1)+1>1(因α>1>β).

利用韦达定理时,用了一个极不起眼的等式x₁+x₂-x₁x₂,目的在于消元,消去未知系数,或者建立系数之间的联系。

再看下一个例子

求实数k,使得方程kx^2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数.

解:若k=0,得x=1,即k=0符合要求.

若k≠0,设二次方程的两个整数根为x₁、x₂,且x₁≤x₂,由韦达定理得

x₁+x₂=-(k+1)/k , x₁x₂=(k-1)/k

∴x₁x₂-x₁-x₂=2,

(x₁-1)( x₂-1)=3.

因为x₁-1、x₂-1均为整数,

所以x₁=2,x₂=4;x₁=-2,x₂=0.

所以k=1,或k=-1/7

题中x₁x₂-x₁-x₂消去了一元二次方程中的未知系数k

[责任编辑:editor]

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